來自納維-斯托克斯方程的故事

納維-斯托克斯存在性與光滑性是有關(guān)納維-斯托克斯方程其解的數(shù)學(xué)性質(zhì)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。方程可以描述空間中流體（液體或氣體）的運動。納維爾－斯托克斯方程式的解可以用到許多實際應(yīng)用的領(lǐng)域中。不過對于納維－斯托克斯方程式解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程式的解常會包括紊流。雖然紊流在科學(xué)及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學(xué)問題之一。

許多納維爾－斯托克斯方程式解的基本性質(zhì)都尚未被證明。例如數(shù)學(xué)家就尚未證明在三維座標，特定的初始條件下，納維爾－斯托克斯方程式是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這樣的解存在時，其動能有其上下界，這就是“納維-斯托克斯存在性與光滑性”問題。

由于了解納維爾－斯托克斯方程式被視為是了解難以捉摸的紊流現(xiàn)象的第一步，克雷數(shù)學(xué)研究所在2000年5月提供了一百萬美元的獎金給第一個證明該方程的人。這也是美國克雷數(shù)學(xué)研究所 (Clay Mathematics Institute) 在2000年提出的7個千禧年大獎難題中的問題之一?？死讛?shù)學(xué)研究所設(shè)定了該問題具體的數(shù)學(xué)描述：

證明或反證下的敘述：
在三維的空間及時間下，給定一起始的速度場，存在一向量的速度場及純量的壓強場，為納維－斯托克斯方程式的解，其中速度場及壓強場需滿足光滑及全局定義的特性。
我們不妨看看該問題具體的描述（以下方程的描述來自維基百科）：

以數(shù)學(xué)的觀點來看，納維爾－斯托克斯方程是一個針對任意維度向量場的非線性偏微分方程；從物理及工程的觀點來看，納維－斯托克斯方程是一個用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)描述液體或非稀疏氣體運動的方程式組。此方程式是以牛頓第二運動定律為基礎(chǔ)，考慮一黏滯性牛頓流體的所有受力，包括壓強、黏滯力及外界的體積力。

由于克雷數(shù)學(xué)研究所提出的問題是在三維空間下，不可壓縮的勻質(zhì)流體為準，以下也只考慮此條件下的納維－斯托克斯方程。

令v(x,t)為描述流體速度的三維向量場，且p(x,t)為流體壓強。納維爾－斯托克斯方程為：



其中：

v>0為動黏滯度；

f(x,t)為外力；

▽為梯度運算子；

Δ為拉普拉斯算子，也可寫為▽·▽。

上述方程是向量方程，可以分解為三個純量的方程，將速度及外力分解為三個座標下的分量：



則納維－斯托克斯方程可寫成以下的形式，i=1,2,3：



其中的未知數(shù)有速度v(x,t)及壓強p(x,t)。由于只考慮三維空間，因此有三個方程及四個未知數(shù)，分別是速度的三個分量及壓強，還需要一個方程才能解出所有的未知數(shù)。這個新增的方程是描述流體不可壓縮性的連續(xù)性方程式：



所以納維－斯托克斯方程解的速度會是無散度的向量函數(shù)。對于在均勻介質(zhì)中的無散度流，其密度及動黏滯度為定值。具體方程的展開這里不再說明。

目前納維爾-斯托克斯方程的證明進展如下：

二維空間下的納維爾-斯托克斯問題已在1960年代已經(jīng)被證明：存在光滑及全局定義解的解。

在初速v(x,t)相當小時此問題也已得證：存在光滑及全局定義解的解。

若給定一初速v0(x)，且存在一有限、依v0(x)而變動的時間T，使得在R³×(0,T)的范圍內(nèi)，納維-斯托克斯方程有平滑的解，還無法確定在時間超過T后，是否仍存在平滑的解。

數(shù)學(xué)家讓·勒雷在1934年時證明了所謂納維-斯托克斯問題弱解的存在，此解在平均值上滿足納維-斯托克斯問題，但無法在每一點上滿足。

當然，雖然說納維爾-斯托克斯方程描述了流體領(lǐng)域的大部分條件，不過也有其適用范圍，該方程只適用于牛頓流體，什么是牛頓流體呢？簡單說就是：任一點上的剪應(yīng)力都同剪切變形速率呈線性函數(shù)關(guān)系的流體。一般高黏度的流體是不滿足這種關(guān)系的，說明牛頓流體和非牛頓流體有個簡單的例子就是大家熟知的虹吸現(xiàn)象。在低黏度下，虹吸要進行下去，吸取口必須在頁面以下，但非牛頓流體的高黏度流體下，吸取口哪怕高于液面，其虹吸依然能夠進行，因為黏度太大了，這個還是很容易想象到的。

那么，可能有人要問了，居然有不適用納維爾-斯托克斯方程的流體，那么該方程是不是就不完備了。是的，方程是不完備，不能一統(tǒng)流體世界的天下，不過對于工程應(yīng)用來說，大部分情況還是處理牛頓流體，或者可以近似為牛頓流體，這樣納維爾-斯托克斯方程基本就是流體世界的王者了。



低黏度下的虹吸現(xiàn)象（吸取口低于液面）



高黏度下的虹吸現(xiàn)象（吸取口高于液面）

說到這里，或許可以告一段落了，但或許有人也有點困惑，有些人會想：雖然我數(shù)學(xué)沒那么厲害，但感覺納維爾-斯托克斯方程的證明對于數(shù)學(xué)家來說應(yīng)該不難吧，這么幾百年過去了難道都沒有一個數(shù)學(xué)家站出來證明他嗎。我們已經(jīng)征服了描述時空的相對論，讓我們翱翔到宇宙深處；我們也已經(jīng)很大程度上征服了量子力學(xué)所描述的微觀世界，讓我們體驗到神奇的量子世界，那里有宇宙大爆炸，有浪漫的平行宇宙。可是，對于一個函數(shù)來說，其解的存在性和光滑性（可以看做高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的連續(xù)性）都不能被證明，實在匪夷所思啊。

有些數(shù)學(xué)問題看似簡單，但對數(shù)學(xué)家來說，要證明其絕對的正確性，卻并不一定是個易事，比如前面提到的美國克雷數(shù)學(xué)研究所提出的7個千禧年難題，其起草者之一安德魯·懷爾斯 (Andrew Wiles)，他在1993證明了難倒數(shù)學(xué)界300多年的費馬大定理 (Fermat's Last Theorem)，而費馬大定理本身看似也是非常的簡單，其問題描述如下：

當整數(shù)n >2時，關(guān)于x, y, z的方程 x?+ y? = z? 沒有正整數(shù)解

就是這樣一個人人都能看懂的問題，卻耗費了數(shù)學(xué)界300多年才得以解決，可想而知，對于數(shù)學(xué)證明來說，遠沒有我們想象的簡單。

希望，在我們這個時代，納維爾-斯托克斯方程 (Navier-Stokes Equations) 可以得到證明，為我們打開自然界的奧秘！