來自納維-斯托克斯方程的故事

流體力學(xué) (Fluid Mechanics) 有著非常漫長(zhǎng)的歷史，最古老的涉及流體力學(xué)的人物可能就是古希臘的阿基米德了 (Archimedes)，大家都知道的阿基米德浮力定理，當(dāng)時(shí)阿基米德在羊皮紙上用希臘語寫了論浮力 (On Floating Bodies) 的文章并流傳至今。但是在很長(zhǎng)時(shí)間里流體力學(xué)并不被當(dāng)作一門獨(dú)立的學(xué)科，直到1687年牛頓 (Isaac Newton) 在其劃時(shí)代的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 之后流體力學(xué)才真正走上歷史舞臺(tái)。在書中除了著名的牛頓三大定理以外，牛頓還提到流體力學(xué)相關(guān)的內(nèi)容，他寫到：對(duì)于平直的均勻流體，流體層與層之間的剪應(yīng)力正比于垂直流體方向上的速度梯度。



阿基米德的手稿



牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》

除了阿基米德和牛頓以外，在流體力學(xué)的發(fā)展歷程中，做出貢獻(xiàn)的人物可以說是陣容豪華，比如非粘性流體 (Inviscid flow) 數(shù)學(xué)分析涉及的人物有歐拉 (Leonhard Euler), 達(dá)朗貝爾 (Jean le Rond d'Alembert)，拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange), 拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace)，泊松 (Siméon Denis Poisson)；非粘性流體的數(shù)學(xué)分析涉及的人物有高斯 (Guass)，泊松，圣維南 (Saint-Venant) 等等，其它在流體力學(xué)中涉及湍流/紊流，粘性/非粘性的推動(dòng)者有雷諾 (Osborne Reynolds)，泰勒 (Geoffrey Ingram Taylor) 等等。而對(duì)這些理論歸納整理的兩位科學(xué)家就是納維爾 (Claude-Louis Navier) 和斯托克斯 (George Gabriel Stokes)，當(dāng)今有名的納維爾-斯托克斯方程組 (Navier-Stokes Equations) 就是以他們倆的名字命名的，也是今天要講的主題。



納維爾
克勞德-路易·納維爾 (Claude-Louis Navier,1785年2月10日-1836年8月21日) 是一位法國(guó)工程師與物理學(xué)家，主要貢獻(xiàn)在力學(xué)領(lǐng)域。

納維爾的父親在1793年過世，納維爾的母親讓她的叔叔Emiland Gauthey來教育納維爾。1824年納維爾進(jìn)入法國(guó)科學(xué)院，1830年時(shí)擔(dān)任國(guó)立橋路學(xué)校的教授，次年接替奧古斯丁·路易·柯西，在巴黎綜合理工學(xué)院擔(dān)任微積分及力學(xué)的教授。

納維爾在1821年將彈性理論以數(shù)學(xué)公式的形式表示，使這個(gè)領(lǐng)域第一次可以計(jì)算有足夠精確度的結(jié)果。1826年納維爾確認(rèn)彈性模量是材料的一個(gè)基本屬性，和物體的截面二次軸矩?zé)o關(guān)，因此納維爾也是結(jié)構(gòu)分析的創(chuàng)始者之一。

當(dāng)然，納維爾主要的貢獻(xiàn)還是納維爾－斯托克斯方程，是流體力學(xué)的理論中心。由于其卓越的貢獻(xiàn)，納維爾也是法國(guó)艾菲爾鐵塔上所刻的72人名字之一（還有拉格朗日，拉普拉斯，傅里葉等大家）。

埃菲爾鐵塔上刻有象征法蘭西科學(xué)精神的72個(gè)人物名字的位置



喬治·加布里埃爾·斯托克斯



喬治·加布里埃爾·斯托克斯爵士 (eorge Gabriel Stokes,1819年8月13日-1903年2月1日)，愛爾蘭數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，就讀和任教于劍橋大學(xué)，主要貢獻(xiàn)在流體動(dòng)力學(xué)、光學(xué)和數(shù)學(xué)物理學(xué)（如大家熟知的斯托克斯公式）。他曾任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書和會(huì)長(zhǎng)。

他出生在新教徒家庭，父親是愛爾蘭斯萊戈郡教區(qū)牧師。先后在都柏林、布里斯托爾就讀，1837年考入劍橋大學(xué)彭布羅克學(xué)院。四年后以最高分畢業(yè)，并獲得史密斯獎(jiǎng)。1849年獲盧卡斯數(shù)學(xué)教授席位，1854年出任皇家學(xué)會(huì)秘書，1885–1890年期間出任會(huì)長(zhǎng)。1889年被封為從男爵。1899年6月1日，他任盧卡斯教授50周年，劍橋大學(xué)舉行了盛大慶祝會(huì)，校監(jiān)向他頒發(fā)金牌。

1842至1843年，他刊出第一批論文，關(guān)于不可壓縮流體的穩(wěn)定流動(dòng)。其后在1845年，他就流體流動(dòng)的摩擦力及彈性固體的平衡和運(yùn)動(dòng)發(fā)表論文，在1850年探討流體的內(nèi)部摩擦力對(duì)擺運(yùn)動(dòng)的影響。他也曾就聲音的理論作出貢獻(xiàn)，如風(fēng)對(duì)聲音強(qiáng)度的影響。他的研究標(biāo)志著流體動(dòng)力學(xué)的新里程，不但有助解釋自然現(xiàn)象（如空中云的運(yùn)動(dòng)、水中漾和浪的運(yùn)動(dòng)等），更有助解決技術(shù)問題，如水在河和管道中的流動(dòng)以及船只的表面阻力等。

前面我們?cè)f到，在CFD流體力學(xué)中，最重要的方程就是納維爾-斯托克斯方程 (Navier-Stokes equations)，這并不是一個(gè)單一的方程，而是一個(gè)方程組，是在眾多科學(xué)家和工程師的推動(dòng)下產(chǎn)生的。在流體力學(xué)中，有很多方程，但很多方程都和納維爾-斯托克斯方程有著聯(lián)系，可以說，該方程在流體力學(xué)中起著基礎(chǔ)性的作用，但也起著決定性的作用，套用指環(huán)王的故事，Navier-Stokes equations可以比做至尊魔戒，其它大大小小的方程比做各個(gè)流體力學(xué)國(guó)度國(guó)王擁有的普通戒指，那么可謂是一戒統(tǒng)領(lǐng)眾戒 (one ring rules all rings)。

數(shù)學(xué)家、科學(xué)家伊恩·斯圖爾特 (Ian Stewart) 出過一本書，名叫《17 Equations That Changed The World (改變世界的17個(gè)方程)》。其中大多數(shù)公式我們都見過，里面就包括納維爾-斯托克斯方程。



改變世界的17個(gè)方程
Navier-Stokes equations已經(jīng)滲透到描述流體的方方面面，也在眾多實(shí)際工程中得到了應(yīng)用。但意外的是，這個(gè)方程的數(shù)學(xué)特性——解的存在性和光滑性至今沒有得到證明。