有限元方法分析的極限

圖1 “長(zhǎng)遠(yuǎn)未來模型”的基礎(chǔ)是寶馬X3車身

具有數(shù)百萬(wàn)個(gè)元素和數(shù)百萬(wàn)個(gè)自由度(DOF)的高度詳細(xì)的網(wǎng)格已變得很常見，并且模型規(guī)模仍在不斷擴(kuò)大。隨著數(shù)值方法和軟件工程技術(shù)的改進(jìn)，各程序的工作效率不斷提高，計(jì)算能力也不斷增強(qiáng)，模型創(chuàng)建及網(wǎng)格劃分軟件的快速發(fā)展也使模型的生成變得迅速而方便。若干年前，氣缸體的網(wǎng)格劃分也許需耗費(fèi)數(shù)月，而如今卻僅需幾個(gè)小時(shí)。

一些公司在運(yùn)用和推動(dòng)模擬技術(shù)方面達(dá)到了很高水平，德國(guó)轎車制造商寶馬公司便是其中之一。為幫助寶馬公司和其他制造商縮短開發(fā)周期，減少原型數(shù)量和測(cè)試次數(shù)，整車模型在日益復(fù)雜的模擬模型的基礎(chǔ)上得到了優(yōu)化，比如進(jìn)行了聲學(xué)和舒適度的剛度評(píng)估、提高了乘客安全性、考慮了空氣動(dòng)力學(xué)因素等。在數(shù)值方面，則通過執(zhí)行隱式線性分析和顯式瞬態(tài)分析來完成這一測(cè)試。

長(zhǎng)遠(yuǎn)未來模型

FEM模型的規(guī)模和細(xì)節(jié)在相應(yīng)不斷增加，這一趨勢(shì)在汽車行業(yè)尤其明顯。正因?yàn)槿绱耍聡?guó)轎車制造商寶馬公司有以下疑問：“FEM程序還能應(yīng)對(duì)這種增長(zhǎng)多久？”2007年年初，有關(guān)人員對(duì)寶馬公司的電腦輔助工程流程鏈進(jìn)行了評(píng)審，目的是查明由于模擬模型的規(guī)模不斷擴(kuò)大而在今后可能出現(xiàn)的瓶頸。在“長(zhǎng)遠(yuǎn)未來模型”這一座右銘下，某一基準(zhǔn)的目標(biāo)就是給硬件和軟件施壓，使它們接近該基準(zhǔn)在今后十年將面臨的極限。MSC.Software公司和IBM公司已成功完成了這一測(cè)試。

圖2 平均模型規(guī)模觀測(cè)值，包括2020年預(yù)測(cè)值

命名為“長(zhǎng)遠(yuǎn)未來模型”的功能設(shè)計(jì)及安裝調(diào)試組為某系統(tǒng)基準(zhǔn)開發(fā)了目前已知最大的FEM模型。小組成員Daniel Heiserer博士曾表示：“對(duì)于我們而言，在標(biāo)準(zhǔn)硬件設(shè)備和軟件上運(yùn)行該基準(zhǔn)非常重要。用目前的基礎(chǔ)設(shè)施來解決該基準(zhǔn)模型，其目標(biāo)并不是縮短計(jì)算時(shí)間，而是查明目前各種資源的理論極限和瓶頸。由于預(yù)處理和后期處理被單獨(dú)研究，因此我們?nèi)硇耐度胗诩冇?jì)算。”

基準(zhǔn)的目標(biāo)是為某標(biāo)準(zhǔn)分析（對(duì)兩個(gè)載荷案例進(jìn)行線性靜態(tài)分析）確定FEM分析的基本步驟可被執(zhí)行到何種程度，并能在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)完成：

1. 讀取輸入數(shù)據(jù)，將其分類并列表，執(zhí)行一致性檢查；

2. 對(duì)元素剛度矩陣進(jìn)行計(jì)算，并編制全局剛度矩陣；

3. 對(duì)位移和剛度數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算；

4.  輸出結(jié)果。

MSC.Software公司與IBM公司合作，得以在數(shù)月內(nèi)解決該問題。

歷史及現(xiàn)狀

大多數(shù)老牌FEM程序起源于計(jì)算性能尚未達(dá)到最佳狀態(tài)之時(shí)。1957年，Ray W.Clough先生和他的學(xué)生們利用一臺(tái)內(nèi)存僅為16KB（16位）的IBM 701計(jì)算機(jī)研制出了日后所說的有限元方法(FEM)。當(dāng)方程數(shù)量超過40個(gè)時(shí)，問題需要核外求解邏輯，這意味著需要使用第二存儲(chǔ)介質(zhì)。10年后，當(dāng)Nastran問世時(shí)，相關(guān)要求依然相似。作為客戶的NASA需要一個(gè)能對(duì)具有至少2個(gè)自由度的問題進(jìn)行靜態(tài)和動(dòng)態(tài)分析的程序。

今天，這一切似乎已成歷史。隨著CPU速度、效率以及內(nèi)存容量的提升，無(wú)需“核外”運(yùn)算即可計(jì)算各種需要強(qiáng)大計(jì)算能力的基本運(yùn)算，比如有限元矩陣的生成和編制。即便當(dāng)代的MD Nastran也反映了早期的軟件設(shè)計(jì)考慮事項(xiàng)，例如節(jié)省電腦內(nèi)存，以及借助“核外”或“溢出”算法來高效使用磁盤I / O子系統(tǒng)。就本項(xiàng)目而言，這些特性對(duì)于全局剛度與質(zhì)量矩陣的生成極有幫助。

圖3 寶馬X3車型的沖擊塔的外殼模型（藍(lán)色），MODAW體積表示（黃色）

基礎(chǔ)模型

在寶馬公司，模型生成的基礎(chǔ)是寶馬X3的白車身，即不帶任何裝飾部件的金屬板車身基本設(shè)計(jì)。鑒于該車型的尺寸，工程師們以經(jīng)驗(yàn)值的外推作為方向，該項(xiàng)工作為2020年預(yù)測(cè)了大約8億個(gè)自由度。

網(wǎng)格劃分程序由Heiserer博士開發(fā)，并運(yùn)用了原始網(wǎng)格劃分技術(shù)（RAT），它可對(duì)復(fù)雜幾何形狀實(shí)現(xiàn)極快的HE-XA網(wǎng)格劃分，即使在不連貫或有錯(cuò)誤的CAD幾何形狀基礎(chǔ)上也是如此。RAT建模的缺點(diǎn)是模型極大，并且只能對(duì)基礎(chǔ)剛度屬性做有意義的模擬。

基準(zhǔn)最終模型的最大邊長(zhǎng)為1mm，包含1.51億個(gè)格點(diǎn)、將近9 500萬(wàn)個(gè)HEXA元素和9.11億個(gè)全局自由度。如果去除旋轉(zhuǎn)自由度，則問題規(guī)模可達(dá)4.55億個(gè)待解方程。

為確保各項(xiàng)面向?qū)嵺`的條件，并把成本限制在可管理的規(guī)模內(nèi)，應(yīng)借助商品化程序和單處理器電腦來運(yùn)行該測(cè)試。IBM公司設(shè)在美國(guó)紐約州波基普西市的美國(guó)基準(zhǔn)中心的電腦就適合于FEM征兆式I/O和內(nèi)存要求。使用的電腦系統(tǒng)是IBM p5-595 2.3GHz POWER5+，配備512GB內(nèi)存和6TB臨時(shí)文件系統(tǒng)，后者由48個(gè)硬盤組成，每塊硬盤容量為146GB。為實(shí)現(xiàn)可用內(nèi)存的最優(yōu)利用，使用了ILP-64版MD Nastran。為了對(duì)全局（編制后的）剛度矩陣進(jìn)行因子分解，采用了稀疏直接多波前算法，它具備嵌套剖分重排序特性。

全局剛度矩陣是大約9 500萬(wàn)個(gè)元素剛度矩陣的組合。得到的因子矩陣包含571.011個(gè)待解項(xiàng)（超過4TB數(shù)據(jù)），最大波前大小估計(jì)值大于100 000。求解需要將近1個(gè)CPU年。由于沒有這么多時(shí)間，因此決定采用包含PCGLSS迭代求解器的迭代解，它需要的內(nèi)存和磁盤空間明顯更少，并且對(duì)于包含三維有限元的模型而言特別有效。提交的分析工作需要50GB內(nèi)存，并且模塊化I/O (MIO)額外需要10GB內(nèi)存。

MIO是IBM公司開發(fā)的一種智能I/O緩存。在MD Nastran中常見的I/O密集型運(yùn)算期間，MIO使用較少的內(nèi)存來以異步方式預(yù)取數(shù)據(jù)。

為了處理如此大量的數(shù)據(jù)，必須進(jìn)行若干修改以及系統(tǒng)參數(shù)和輸入數(shù)據(jù)的設(shè)定，例如格點(diǎn)ID內(nèi)部最大號(hào)碼的運(yùn)行時(shí)參數(shù)被增加至1.60億（標(biāo)準(zhǔn)值為1.00億），并且由于所用內(nèi)存的大小和種類的緣故，修改了PCGLSS求解器的參數(shù)。

圖4 本項(xiàng)目所用的電腦系統(tǒng)IBM p5-595 2.3GHz POWER5+

在輸入數(shù)據(jù)時(shí)，取消了格點(diǎn)權(quán)重發(fā)生器輸出請(qǐng)求以及質(zhì)量矩陣的生成，節(jié)省的時(shí)間和I/O量分別為22min/226GB和1.4h/450GB。由于電腦資源有限，未計(jì)算第二個(gè)載荷案例。

分析結(jié)果

完成串行方式的分析計(jì)算用了1337min。使用的CPU秒數(shù)為76 254；CPU利用率為95%。若對(duì)第二個(gè)載荷案例做分析，則總計(jì)算時(shí)間會(huì)增加15h（53 786s），達(dá)到37h。

總共需要2.27TB臨時(shí)文件磁盤空間。分析工作耗費(fèi)了7.8TB磁盤I/O。用于后期處理的二進(jìn)制輸出文件大小為99.9GB，包含未變形的幾何形狀以及用于某個(gè)載荷案例的輸出（位移和應(yīng)力）。PCGLSS求解器收檢時(shí)的公差為9.9803e-05（149次迭代），并且額外需要大約230GB內(nèi)存。使用的內(nèi)存總量約為300GB（60GB用于MD Nastran，10GB用于MIO緩存，230GB用于PCGLSS求解器）。

盡管內(nèi)存、磁盤、I/O要求極高，但計(jì)算是在標(biāo)準(zhǔn)硬件平臺(tái)上，用標(biāo)準(zhǔn)軟件執(zhí)行的。由于MD Nastran分析軟件具有“核外”能力，因此它適合于極大問題的計(jì)算。除了軟件的高效率之外，IBM POWER5-架構(gòu)（具有大內(nèi)存以及統(tǒng)一而高效率的存取速度）使我們能在充分的時(shí)段內(nèi)執(zhí)行計(jì)算，因此它也是至關(guān)重要的。